ほとんどの、格安SIMを扱っているMVNO（仮想移動体通信事業者）は、ドコモの回線を使っていますが、ITmediaさんの下記の記事によると、３社AU回線を利用して、通信サービスを提供しているMVNOがあるそうです。
au回線の格安SIMが使える端末は？ – ITmedia Mobile

その３社は、
●UQコミュニケーションズの「UQ mobile」
auネットワークで月々980円（税抜）～！【UQ mobile】
●ケイオプティコムの「mineo」
mineo(マイネオ)｜ドコモ・auどちらでも使えるおトクな格安スマホ(SIM)
●TNetの「Fiimo」
お得なスマホ　Fiimo（フィーモ）！
です。

但し、あなたのお持ちのスマホが、対応機種に入っているか確認する必要があります。
●UQコミュニケーションズの「UQ mobile」の対応機種
動作確認端末一覧｜UQmobile｜格安スマホ・格安SIMのUQmobile
●ケイオプティコムの「mineo」の対応機種
auプラン（Aプラン）動作確認端末一覧 | mineo（マイネオ）
●TNetの「Fiimo」
動作確認端末一覧　Aプラン（auプラン） | お得なスマホ　Fiimo（フィーモ）！

尚、あなたのお持ちの携帯の機種が対応していても、SIMロックを解除しなければ、使えないケースも多い様です。SIMロック解除は、ドコモ、AU、ソフトバンクともウェブから行うと、無料でできる様です。詳細は、下記にてご確認下さい。
SIMロック解除手続き｜UQmobile｜格安スマホ・格安SIMのUQmobile

もし、あなたのお持ちの機種がこれらの会社のリストに無い場合は、SIMフリー携帯を購入して、ドコモの回線を使っているMVNOと契約した方が良いと思います。なぜならば、ドコモの回線を使っているMVNOは競合が多いので、ディスカウント競争になっており、非常に安い月額料金で契約できると思います。

私は、以前AU回線のiphone5を使っていましたが、iphone5はどこのAU回線を利用したMVNOでも対応機種になっていない為、あきらめて、SIMフリー携帯を購入して、ドコモの回線の楽天モバイルと契約しました。iphoneは、AU回線対応の３社とも最近のモデルは、ティザリング以外の機能は対応している様です。